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1、试题题目:已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-y22=1于A、B两点,且ON=1..

发布人:乐虎娱乐官方网站( www.lehu.com) 发布时间:2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-
y2
2
=1于A、B两点,且
ON
=
1
2
OA
+
OB
).
(1)求直线AB的方程;
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点,且
CD
?
AB
=0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解 (1)由题意知直线AB的斜率存在.
设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-
y2
2
=1
得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两根,
∴2-k2≠0.
且x1+x2=
2k(2-k)
2-k2

ON
=
1
2
OA
+
OB
),
∴N是AB的中点,
x1+x2
2
=1,
∴k(2-k)=-k2+2,k=1,
∴直线AB的方程为y=x+1.
(2)共圆.将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,4).
CD
?
AB
=0,∴CD垂直AB,
∴CD所在直线方程为
y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,
令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0
则x3+x4=-6,x3?x4=-11,
∴x0=
x3+x4
2
=-3,y0=6,
即M(-3,6).
|CD|=
1+k2
|x3-x4|
=
1+k2
(x3+x4)2-4x3x4

=4
10

|MC|=|MD|=
1
2
|CD|=2
10

|MA|=|MB|=2
10

即A、B、C、D到M的距离相等,
∴A、B、C、D四点共圆.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-y22=1于A、B两点,且ON=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


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